কোয়াড্রাটিক ফর্মুলা

দ্বিঘাত সমীকরণ কী?

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হলো এমন একটি বহুপদী সমীকরণ যার সর্বোচ্চ ঘাত ২। প্রমিত রূপ ax² + bx + c = 0, যেখানে a ≠ 0। এর গ্রাফ একটি প্যারাবোলা এবং সমাধান হলো প্যারাবোলাটি যেখানে x অক্ষ ছেদ করে — যদি ছেদ করে।

কোয়াড্রাটিক সূত্র

যেকোনো ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের মূল এই সূত্র দিয়ে বের করা যায়। ± চিহ্ন দুটি মূল দেয়।

নিরূপক — মূলের প্রকৃতি

• Δ > 0 → দুটি স্বতন্ত্র বাস্তব মূল; প্যারাবোলা x অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
• Δ = 0 → একটি পুনরাবৃত্ত বাস্তব মূল; প্যারাবোলা x অক্ষ স্পর্শ করে।
• Δ < 0 → বাস্তব মূল নেই; দুটি জটিল অনুবন্ধী মূল।

ধাপে ধাপে উদাহরণ

x² − 5x + 6 = 0 সমাধান:

1. a = 1, b = −5, c = 6
2. Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
3. x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
4. x₁ = 3, x₂ = 2
5. যাচাই: ভিয়েটার সূত্র — যোগফল 5 = −b/a, গুণফল 6 = c/a ✓

শীর্ষ রূপ ও প্যারাবোলা

ax² + bx + c কে a(x − h)² + k আকারে লিখলে শীর্ষবিন্দু (h, k) সরাসরি পাওয়া যায়, যেখানে h = −b/(2a), k = c − b²/(4a)। a > 0 হলে প্যারাবোলা উপরমুখী (k = ন্যূনতম মান), a < 0 হলে নিম্নমুখী (k = সর্বোচ্চ মান)।

উৎপাদক রূপ

যদি বাস্তব মূল r₁, r₂ থাকে, সমীকরণটি a(x − r₁)(x − r₂) = 0 আকারে লেখা যায়। মূল মুখে দেখা গেলে এ পদ্ধতি দ্রুত কাজে আসে।

SSC শিক্ষার্থীদের জন্য

বোর্ডে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়, শব্দ-সমস্যা (গতি, ক্ষেত্রফল) ও মূলের প্রকৃতি ব্যাখ্যার প্রশ্ন আসে। নিজে কাগজে সমাধান করে এখানে যাচাই করুন — ধাপগুলো মিলিয়ে দেখলে ভুল কোথায় হয়েছে বোঝা যায়।

HSC শিক্ষার্থীদের জন্য

HSC গণিতে দ্বিঘাত আরও গভীর — ভিয়েটার সূত্র, মূলের সম্পর্ক থেকে নতুন সমীকরণ গঠন, জটিল মূল ও বহুপদীতে প্রয়োগ। উপরের ধাপগুলো এই বিষয়ের ভিত্তি গড়ে দেয়।