How do I integrate a function?

Type your function of x — for example x^2 or sin(x). Choose Indefinite for the antiderivative (with + C), or Definite to evaluate ∫ₐᵇ f(x) dx between two limits. The calculator shows each rule applied along the way.

What is the + C in indefinite integrals?

C is the constant of integration. Because the derivative of any constant is 0, infinitely many functions share the same derivative — they all differ only by a constant. We write + C to represent that family of antiderivatives.

Definite vs indefinite integrals?

An indefinite integral returns a function (the antiderivative) plus a constant. A definite integral returns a number — the signed area under the curve between two limits a and b, computed as F(b) − F(a) by the Fundamental Theorem of Calculus.

Which integration techniques does this support?

The engine handles the power rule, constants and constant multiples, sums and differences (linearity), exponentials and a^x, basic trig (sin, cos, tan, sec, csc, cot), reciprocal 1/x, and basic linear u-substitution for f(ax + b). For other forms it falls back to numerical Simpson's rule when limits are given.

How accurate is the numerical answer?

We use composite Simpson's rule with n = 1000 sub-intervals. For smooth integrands the error is typically below 1e-9 of the result. Functions with singularities, sharp peaks, or asymptotes inside [a, b] may produce larger error or NaN.

ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলেটর

নির্দিষ্ট ও অনির্দিষ্ট অখণ্ডন ধাপে ধাপে সমাধান সহ। HSC ও বিশ্ববিদ্যালয় ক্যালকুলাসের জন্য।

এটি ক্যালকুলাস শেখার জন্য। নিজের কাজ যাচাই ও ধাপ বুঝতে ব্যবহার করুন। পরীক্ষার সময় ব্যবহার করবেন না — এটি একাডেমিক সততার নিয়মের বিরুদ্ধে।

ধরন

ফাংশন f(x)

চলক

প্রিভিউ

\int { x}^{2} \, dx

ধাপ দেখান

উদাহরণ চেষ্টা করুন

প্রমাণিত অখণ্ডন তালিকা

f(x)	∫ f(x) dx
$k$	$kx + C$
$x^n$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\| + C$
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$-\ln\|\cos x\| + C$
$\cot x$	$\ln\|\sin x\| + C$
$\sec x$	$\ln\|\sec x + \tan x\| + C$
$\csc x$	$-\ln\|\csc x + \cot x\| + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\csc^2 x$	$-\cot x + C$
$\sec x \tan x$	$\sec x + C$
$\csc x \cot x$	$-\csc x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$
$\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$	$\operatorname{arcsec}\|x\| + C$
$\sinh x$	$\cosh x + C$
$\cosh x$	$\sinh x + C$
$\ln x$	$x\ln x - x + C$

অখণ্ডন কী?

অখণ্ডন হলো অবকলনের বিপরীত ক্রিয়া। কোনো ফাংশন F(x) এর অবকলজ যদি f(x) হয়, তবে F(x) কে f(x) এর অখণ্ডিত (antiderivative) বলে এবং লেখা হয় ∫f(x) dx = F(x) + C। জ্যামিতিকভাবে নির্দিষ্ট অখণ্ডন বক্ররেখার নিচের চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল দেয়।

পাওয়ার রুল

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

n = −১ এর ক্ষেত্রে: ∫(1/x) dx = ln|x| + C।

u-প্রতিস্থাপন

যদি অখণ্ড্য রূপ f(g(x))·g'(x) হয়, তবে u = g(x) ধরে du = g'(x) dx — অখণ্ডনটি ∫f(u) du তে রূপান্তরিত হয়। আমাদের টুল রৈখিক ক্ষেত্র (g(x) = ax + b) স্বয়ংক্রিয়ভাবে শনাক্ত করে।

অংশভাগে অখণ্ডন

\int u \, dv = uv - \int v \, du

দুটি ফাংশনের গুণফলের জন্য (যেমন x·sin(x), x·e^x) ব্যবহৃত হয়। সাধারণত LIATE ক্রমে u বাছাই করা হয়।

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

এখানে F(x) হলো f(x) এর যেকোনো অখণ্ডিত। নির্দিষ্ট অখণ্ডন এই উপপাদ্য থেকে গণনা করা হয়।

HSC শিক্ষার্থীদের জন্য

HSC গণিত ২য় পত্রের অখণ্ডন অধ্যায়ের অধিকাংশ স্ট্যান্ডার্ড অখণ্ড্য রূপ এই টুলে কাজ করে। জটিল অংশভাগে অখণ্ডন বা প্রতিস্থাপনের সমস্যাগুলো নিজে চেষ্টা করে এখানে যাচাই করুন।

এই টুলটি যে নামেও পরিচিত

integration calculator · definite integral calculator · indefinite integral calculator

প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

ফাংশন কীভাবে অখণ্ডন করতে হয়?

x-এর কোনো ফাংশন লিখুন — যেমন x^2 বা sin(x)। অনির্দিষ্ট নির্বাচন করলে অখণ্ডিত (+ C সহ) দেখাবে, নির্দিষ্ট নির্বাচন করলে দুই সীমার মধ্যে ∫ₐᵇ f(x) dx নির্ণয় করবে। প্রতিটি ধাপ ব্যাখ্যা সহ দেখানো হবে।

অনির্দিষ্ট অখণ্ডনে + C কী?

C হলো অখণ্ডনের ধ্রুবক। যেকোনো ধ্রুবকের অবকলজ ০, তাই একই অবকলজবিশিষ্ট অসীম সংখ্যক ফাংশন থাকে — তারা শুধু একটি ধ্রুবক দিয়ে পার্থক্য। সেই পরিবারকে বোঝাতে + C লেখা হয়।

নির্দিষ্ট ও অনির্দিষ্ট অখণ্ডনের পার্থক্য?

অনির্দিষ্ট অখণ্ডন একটি ফাংশন (অখণ্ডিত) ও ধ্রুবক দেয়। নির্দিষ্ট অখণ্ডন একটি সংখ্যা দেয় — দুই সীমা a ও b এর মধ্যে বক্ররেখার চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল, ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী F(b) − F(a)।

কোন কোন কৌশল সমর্থিত?

ইঞ্জিন পাওয়ার রুল, ধ্রুবক ও ধ্রুবক গুণনিয়ম, যোগ-বিয়োগ (লিনিয়ারিটি), সূচকীয় ও a^x, ত্রিকোণমিতি (sin, cos, tan, sec, csc, cot), 1/x, এবং f(ax+b) এর জন্য রৈখিক u-প্রতিস্থাপন সমর্থন করে। অন্য ক্ষেত্রে সীমা দিলে সিম্পসন'স রুলে সংখ্যাত্মক ফলাফল দেয়।

সংখ্যাত্মক উত্তর কতটা নির্ভুল?

n = ১০০০ অংশসহ যৌগিক সিম্পসন'স রুল ব্যবহৃত হয়। মসৃণ ফাংশনে সাধারণত ত্রুটি ফলাফলের 1e-9 এর নিচে। [a, b] এর ভেতর অসংজ্ঞা/অ্যাসিম্পটোট থাকলে ত্রুটি বাড়তে পারে।

ইন্টিগ্রেশন কীভাবে করতে হয়?

x-এর ফাংশন লিখুন (যেমন x^2 বা sin(x)), 'অখণ্ডন করুন' চাপুন। প্রতিটি প্রয়োগকৃত নিয়ম ও ফলাফল KaTeX-এ পরিষ্কারভাবে দেখানো হবে।

ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলেটর

উদাহরণ চেষ্টা করুন

প্রমাণিত অখণ্ডন তালিকা

অখণ্ডন কী?

পাওয়ার রুল

u-প্রতিস্থাপন

অংশভাগে অখণ্ডন

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

HSC শিক্ষার্থীদের জন্য

সম্পর্কিত ক্যালকুলেটর

এই টুলটি যে নামেও পরিচিত

প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত ক্যালকুলেটর

বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর

গ্রাফিং ক্যালকুলেটর

দ্বিঘাত সমীকরণ

বাইনারি ক্যালকুলেটর

গণিত সমাধানকারী

জিপিএ ক্যালকুলেটর